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CAPITULO 2: REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS

TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH

La potencia total de una señal periódica se puede asociar con la suma de las potencias contenidas en cada componente de frecuencia (teorema de parseval). La misma clase de resultado es de esperar en el caso de señales no periódicas representadas por sus transformadas de fourier. Con esta definición el integrando se expresa como una intensidad de energía variante en el tiempo.

 Este es el “teorema de rayleigh”; también conocido como “teorema de plancherel”. Establece que la energía contenida en una señal x(t) es igual al área bajo el cuadrado del módulo de la transformada de x(t), es decir, |x(f)|2.

La cantidad |x(f)|2 se denomina “espectro de energía” o “densidad espectral de energía” de la señal x(t), y  |x(f)|2 df es la energía contenida en un ancho de banda infinitesimal df. Para poder aplicar este teorema solo necesitamos conocer el espectro de amplitud |x(f)|  de la señal. El espectro de energía, más que el espectro de potencia, es la caracterización más apropiada para señales que poseen una transformada de fourier.

 En el sentido físico, el teorema de rayleigh indica que “la energía de una señal no depende del modo de representación de la señal”. La energía es un invariante y es la misma así se tenga una representación temporal o una representación espectral de la señal.

 

DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

Si la descripción en el tiempo de una señal es cambiada su descripcion en la frecuencia es alterada en forma inversa.

Si una señal es estrictamente limitada en frecuencia, su definicion en el tiempo se puede expandir indefinidamente. Una señal es estrictamente limitada en frecuencia o de banda limitada si su transformada de fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. En el caso contrario (señal estrictamente limitada en tiempo) sucede lo mismo.  Una señal no puede ser estrictamente limitada en tiempo y en frecuencia simultáneamente.

 

FILTROS

Es un dispositivo selectivo en frecuencia que se usa para limitar el espectro de una señal a una banda de frecuencias específicas. Su respuesta se caracteriza por una banda de paso y una de rechazo. Estos en una forma u otra representan un importante bloque funcional en la construcción de un sistema de comunicaciones.

 Un filtro puede ser caracterizado especificando su respuesta al impulso h(t) o su función de transferencia h(f). Pero el diseño de un filtro es usualmente realizado en el dominio de la frecuencia. Las dos etapas clave del diseño de un filtro son:

  • La aproximación de una respuesta en frecuencia indicada (amplitud, fase) mediante una función de transferencia realizable.
  • La realización de la función de transferencia aproximada mediante un dispositivo físico.

Para que una función de transferencia sea realizable físicamente debe representar un sistema estable. La estabilidad se define en términos del criterio bibo. Teniendo en cuenta la realización física de los filtros se puede hablar de:

Filtros análogos: se construyen usando inductores y capacitores; o capacitores, resistencias y opamps.

Filtros de tiempo discreto: para estos las señales son muestreadas en tiempo pero su amplitud es continua. Ej: filtros de capacitor conmutado y filtros de onda acústica superficial (saw).

Filtros digitales: para estos las señales son muestreadas en tiempo y en amplitud son cuantizadas; los cuales se construyen con dispositivos digitales y una de sus principales características es que es programable, ofreciendo mucha flexibilidad en el diseño.

 

TRANSFORMADA DE HILBERT

Esta transformada puede interpretarse como una convolución de la función con la función de tiempo. El análisis de Fourier nos ha permitido hasta el momento separar señales en base a sus contenidos frecuenciales, especialmente util como base matemática para el diseño de filtros selectivos.

Otra forma de separar señales es basarse en la selectividad en fase que usa desplazamientos de fase entre las señales de estudio para lograr la separación deseada. Para lograr esto se necesita el uso de un transformador ideal, que en el caso de un desplazamiento de ±90 grados da como resultado una función del tiempo conocida como la transformada de hilbert de la señal.

 A pesar de los desfases de 90 grados aplicados, las amplitudes de todas las componentes de frecuencia en la señal no son afectadas por un sistema con esta función de transferencia. Este sistema ideal se llama transformador hilbert y tiene aplicaciones como:

Se puede utilizar para realizar selectividad en fase en la generación de un tipo especial de modulación en amplitud denominado  modulación en banda lateral única o ssb. Proporciona la base matemática necesaria para representar señales pasabanda. La transformada de hilbert se puede aplicar a cualquier señal que tenga transformada de fourier y por lo tanto a señales de potencia y de energia de las usadas en sistemas de comunicaciones.

 

PREENVOLVENTE

Si g(t) es una señal real se define la señal analitica positiva o preenvolvente con esta funcion de valor complejo. La utilizacion de señales analiticas simplifica el trabajo con señales pasabanda. Una de las caracteristicas mas importantes de la preenvolvente es su comportamiento en frecuencia.

Esto significa que la preenvolvente no tiene contenido frecuencial para todas las frecuencias negativas. Dada una señal g(t) se puede calcular la preenvolvente de dos formas: 1. Calcular su transformada hilbert y entonces utilizar la ecuacion dada y 2. Calcular g(f) y determinar  g+(f) luego calcular la transformada de fourier inversa.

  

REPRESENTACIÓN CANÓNICA DE SEÑALES PASABANDA

Si g(t) es una señal pasabanda  de ancho de banda 2w  y centrada en ±fc. Esta frecuencia fc es llamada frecuencia portadora. En la mayoria de los sistemas de comunicaciones encontramos que el ancho de banda 2w es pequeño comparado con el valor de fc. Debido a esto este tipo de señales se llaman de banda estrecha (narrow band). Si se puede expresar la preenvolvente de una senal banda estrecha la cual se denomina envolvente compleja de la señal.

Si g+(t) esta limitada a la banda de frecuencias fc−w≤f ≤fc+w. Aplicando la propiedad de desplazamiento en frecuencia de la transformada de Fourier y se puede apreciar que la transformada de la envolvente compleja esta limitada a la banda de frecuencias −w ≤ f ≤w. Asi la envolvente compleja es una señal pasabajo.

 Se denomina forma canonica. A gc(t) se le denomina componente en fase de la señal original y a gs(t) se le denomina componente en cuadratura. En general a(t) y ф(t) son funciones reales a a(t) se le llama envolvente natural o envolvente de la señal original mientras que a ф(t) se le denomina fase. Es evidente que tanto si se usa la representacion en fase y cuadratura como la de amplitud y fase, toda la informacion contenida en g(t) esta completamente representada por la envolvente compleja. La ventaja de usar la envolvente compleja para expresar señales pasabanda es analitica.

 

SISTEMAS PASABANDA

El analisis de sistemas pasabanda puede ser simplificado al establecer una analogia o isomorfismo entre sistemas pasabajo y pasabanda.  Esta analogia se basa en el uso de la transformada hilbert para la representacion de señales pasabanda.

Si se considera una señal banda estrecha x(t) con transformada de fourier x(f), asumimos que el espectro esta limitado a las frecuencias ±w hz alrededor de la frecuencia de portadora ±fc. Tambien asumimos que w<fc. Asi la señal se puede representar de forma canonica en terminos de sus componentes de fase y cuadratura se aplica esta señal como entrada a un sistema lti pasabanda con respuesta al impulso h(t) y funcion de transferencia h(f). Suponemos que la respuesta en frecuencia del sistema esta limitada a las bandas ±b en torno a ±fc.

En general el ancho de banda del sistema (2b) es usualmente mas estrecho o igual que el de las señales de entrada 2w. Se puede representar la respuesta al impulso h(t) en funcion de su componente de fase hc(t) y la componente en cuadratura hs(t) según su forma canonica. El analisis de un sistema pasabanda que se complica por la presencia del factor e(j2fct), es sustituido por otro analisis paso bajo que mantiene la esencia del proceso de filtrado.

 

RETRASO DE FASE Y DE GRUPO

Cuando una señal es transmitida a traves de un dispositivo dispersivo (selectivo en frecuencia) como un filtro o canal de comunicaciones, algun retraso es agregado a la señal de salida en relacion a la de entrada.

En un filtro pasabajo o pasabanda ideal, la respuesta en fase varia linealmente con la frecuencia dentro de la banda de paso del filtro, por lo cual el filtro introduce un retardo constante igual a t0. Asi ese retardo controla la pendiente de la respuesta de fase lineal del filtro; sin embargo hay que tener en cuenta que el retardo de fase no es el retardo real de la señal. Esto es debido a que una señal sinusoidal de estado estable no lleva ninguna informacion, y por lo tanto, no se puede deducir que el retardo de fase sea el retardo real de la señal.

La informacion se puede transmitir modificando cierto parametro de la señal sinusoidal segun la informacion a transmitir (modulacion).  Suponiendo que una señal sinusoidal de variacion lenta se multiplica por una señal sinusoidal portadora. La señal resultante se denomina señal modulada y consiste en un grupo de frecuencias estrecho en torno a la frecuencia portadora.

Cuando esta señal modulada se transmite por el canal, se puede ver que existe un retardo entre la envolvente de la señal de entrada y la de la señal de salida. Este retardo se denomina retardo de grupo o retardo de envolvente, y representa el retardo real de la señal de informacion.

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